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线性自抗扰控制（LADRC）详解

最近修改日期：2026-02-06
参与者：Jackrainman
前置知识：05-何谓自抗扰.md

目录

  1. 引言
  2. 扰动响应理论
  3. 干扰观测器
  4. 线性扩张状态观测器(LESO)
  5. LADRC控制律
  6. 离散化实现
  7. 参数整定
  8. 总结

第一章：引言

1.1 LADRC的诞生

自抗扰控制（ADRC）由韩京清教授于1998年提出，其核心思想是将系统内外的所有不确定性打包为"总扰动"，通过扩张状态观测器（ESO）实时估计并补偿。

然而，原始ADRC存在一个问题：参数整定困难。非线性函数的选择、多个参数的调节都需要丰富的工程经验。

为了解决这一问题，高志强教授（Gao Zhiqiang）于2003年提出了线性自抗扰控制（LADRC）。LADRC的核心创新在于：

将参数整定问题转化为带宽调节问题

通过线性化设计，LADRC将复杂的参数调节简化为只需要调整两个带宽参数： - 观测器带宽 \(\omega_o\)（Observer Bandwidth） - 控制器带宽 \(\omega_c\)（Controller Bandwidth）

这使得ADRC从理论走向工程实践成为可能。

1.2 控制面临的核心挑战

在实际控制系统中，工程师们面临三大挑战：

挑战 具体表现 传统方法的局限
模型不确定性 参数变化、未建模动态 PID难以自适应调整
外部扰动 负载突变、环境干扰 积分器响应滞后
测量噪声 传感器噪声、量化误差 滤波会引入相位滞后

📌 工程提示：LADRC的设计目标是在不依赖精确模型的前提下，同时应对上述三种挑战。

1.3 LADRC的核心思想

LADRC的精髓可以用一句话概括：

实时估计总扰动 → 立即补偿 → 将复杂系统转化为简单的积分器串联型

控制结构的核心是两个环：

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                      LADRC 控制结构                          │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│                                                             │
│    给定 r ──→ ┌─────────┐    ┌─────────┐    ┌──────┐       │
│               │  LSEF   │───→│   u₀    │───→│      │       │
│               │(控制律) │    │(虚拟量) │    │      │       │
│               └────▲────┘    └────┬────┘    │  被  │──→ y  │
│                    │              │         │  控  │       │
│    ┌───────────┐   │         ┌────┴────┐    │  对  │       │
│    │   LESO    │───┴────────→│ u=u₀-z₃ │───→│  象  │       │
│    │(扰动估计) │              │  /b₀    │    │      │       │
│    └──────▲────┘              └─────────┘    └──────┘       │
│           │                                                 │
│           └───────────────────────────────────────┘         │
│                        输出 y                               │
│                                                             │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

关键理解： - LESO（内环）：快速估计总扰动，实现"去扰器"功能 - LSEF（外环）：设计期望的动态响应特性

第二章：扰动响应理论

2.1 指令响应 vs 扰动响应

在控制系统中，我们通常关注两类响应：

响应类型 定义 优化目标
指令响应 \(S(s)\) 输出对给定指令的响应 快速、无超调跟踪
扰动响应 \(T(s)\) 输出对扰动的响应 快速抑制、最小影响

关键区别： - 指令响应衡量系统"听话"的能力 - 扰动响应衡量系统"抗干扰"的能力

2.2 扰动响应的频域特性

扰动响应 \(T(s)\) 定义为系统输出 \(C(s)\) 对扰动输入 \(D(s)\) 的传递函数：

\[ T(s) = \frac{C(s)}{D(s)} \]

理想的扰动响应：\(T(s) = 0\)（即扰动对输出零影响），在频域表现为 \(-\infty\) dB。

典型控制系统的扰动响应特性

考虑一个典型的PID控制系统，扰动一般施加在被控对象之前：

    扰动 d
      │
      ▼
r ──→[C(s)]──→[P(s)]──→ y
                ▲
                └───────┘

频域特性分析：

频段 特性 原因
低频段 扰动响应好（衰减大） 积分器作用，高增益抑制
中频段 扰动响应差（衰减小） 积分器相位滞后，控制器增益有限
高频段 扰动响应好（衰减大） 被控对象惯性（如电容、电感）自然滤波

💡 通俗解释：为什么中频段表现差？

想象你在开车： - 低频扰动（路面缓慢起伏）：你有足够时间反应并调整方向盘（积分器起作用） - 高频扰动（路面细小振动）：车辆悬挂系统自动过滤（被控对象惯性） - 中频扰动（突然的坑洼）：你来不及反应，悬挂也来不及过滤，这是最难受的

2.3 改善扰动响应的途径

从扰动响应传递函数可以看出，改善扰动响应有以下方法：

方法一：使用响应缓慢的被控对象

原理：被控对象本身具有低通特性，如大惯量器件、大电容等。

优点：无需额外设计，自然滤波效果好。

缺点： - 成本高（大惯量 = 更大、更重、更贵） - 响应变慢（指令跟踪性能下降）

方法二：增大控制器增益

原理：提高控制器在扰动频率段的增益。

  • 增大比例增益 \(K_p\)：改善高频扰动响应，同时改善指令响应
  • 增大积分增益 \(K_i\)：改善低频扰动响应，对指令响应改善有限

局限： - 受稳定性限制，不能无限增大 - 稳定裕度小的系统，增大增益会导致振荡甚至失稳 - 对传感器噪声更敏感

方法三：扰动解耦法（LADRC的核心）

原理：在扰动引起输出变化之前，就对其进行测量或估计，在功率变换器之前减去等效扰动量，近似消除扰动。

        d（扰动）
         │
         ▼
    ┌─────────┐     ┌─────────┐
    │ 估计器  │────→│   -d̂   │（抵消）
    │  d̂    │     └────┬────┘
    └────▲────┘          │
         │               ▼
    y ───┘         ┌─────────┐
                   │  被控   │──→ y
    r ──→[C]──────→│  对象   │
                   └─────────┘

优势： - 不依赖被控对象的大惯性 - 不牺牲指令响应速度 - 不受稳定性增益限制

📌 工程提示：在实际工程中，应综合使用增大控制器增益 + 扰动解耦法，以获得最佳扰动抑制效果。

2.4 扰动解耦法

扰动解耦是LADRC的核心机制。通过扩张状态观测器（ESO），我们可以：

  1. 实时估计总扰动 \(f\)（包括内部不确定性和外部扰动）
  2. 立即补偿在控制输入端抵消估计的扰动

数学表达：

原系统：\(\ddot{y} = f + bu\)

补偿控制律：\(u = \frac{u_0 - \hat{f}}{b}\)

代入得：\(\ddot{y} = f + b \cdot \frac{u_0 - \hat{f}}{b} = f - \hat{f} + u_0 \approx u_0\)

当估计准确时（\(\hat{f} \approx f\)），扰动被完全抵消，系统简化为纯积分器串联型。

第三章：干扰观测器

3.1 总扰动的定义

在LADRC框架中，总扰动是一个打包概念：

\[ f = \underbrace{f_{\text{内部}}}_{\text{未建模动态、参数变化}} + \underbrace{f_{\text{外部}}}_{\text{外部干扰、负载变化}} \]

这种打包的好处： - 无需区分扰动来源 - 统一处理所有不确定性 - 简化设计不需要精确模型

3.2 干扰观测器概述

干扰观测器（Disturbance Observer, DOB）是一种用于估计和补偿扰动的控制结构。

基本原理： 

        u ──→[对象实际]──→ y
                │
                ▼
        ┌───────────────┐
        │   对象模型    │
        │    Gn(s)     │
        └───────┬───────┘
                │
    y ◄─────────┘
         │
         ▼（比较实际输出与模型输出）
    ┌─────────────┐
    │  扰动估计   │──→ 补偿信号
    └─────────────┘

工作方式： - 比较实际系统输出与标称模型输出 - 差异归因于扰动和模型不确定性 - 生成补偿信号抵消扰动影响

3.3 ESO作为无模型干扰观测器

干扰观测器分为两类：

类型 代表方法 特点
基于模型 传统DOB 需要准确的对象模型
无模型 ESO/LESO 仅需知道系统相对阶数

ESO的核心优势：

  1. 不需要准确模型：只需要知道系统的相对阶数（输入需要经过几次积分才能影响输出）
  2. 估计总扰动：将未建模动态、外部干扰、参数变化都归为总扰动一并估计
  3. 实时性强：利用输出误差进行在线校正

ESO vs 传统干扰观测器：

传统DOB:        ESO:
┌────────┐      ┌────────┐
│ 需要   │      │ 需要   │
│ 精确   │      │ 相对   │
│ 模型   │      │ 阶数   │
└────────┘      └────────┘
    │               │
    ▼               ▼
┌────────┐      ┌────────┐
│ 模型   │      │ 状态   │
│ 求逆   │      │ 扩张   │
└────────┘      └────────┘

📌 工程提示：ESO的设计哲学是"以简御繁"——用最少的先验知识（仅相对阶数）应对最大的不确定性。

3.4 前馈+干扰观测器+反馈综合应用

在实际工程应用中，应综合使用三种控制策略：

                    ┌─────────────┐
    r ─────────────→│   前馈      │──────┐
                    │  (Feedforward) │   │
                    └─────────────┘   │
                                        ▼
                    ┌─────────────┐  ┌────────┐
                    │  反馈控制   │  │   +    │──→ u
    e = r - y ────→│  (LSEF)     │─→│        │
                    │  wc调节     │  │   +    │
                    └─────────────┘  └───┬────┘
                                         │
                    ┌─────────────┐   ┌──┴───┐
    y ─────────────→│  干扰观测器  │─→│  -   │（扰动补偿）
                    │  (LESO)     │   └──────┘
                    │  wo调节     │
                    └─────────────┘

分工协作：

环节 作用 信息类型
前馈 加速指令响应 离线信息（已知指令）
反馈 稳定跟踪、误差消除 在线信息（实时误差）
干扰观测器 抑制扰动、补偿不确定性 在线信息（输出测量）

💡 设计原则：前馈提供"预见性"，反馈提供"稳定性"，干扰观测器提供"鲁棒性"。

第四章：线性扩张状态观测器(LESO)

4.1 从ESO到LESO

原始ADRC使用非线性扩张状态观测器（ESO），其增益是误差的非线性函数：

\[ z_1 \rightarrow e = z_1 - y \rightarrow \text{非线性函数} \rightarrow \text{修正信号} \]

问题：非线性函数参数多，整定困难。

高志强教授的改进：将ESO线性化，得到线性扩张状态观测器（LESO）。

LESO的优势： - 结构简单，易于实现 - 参数整定转化为带宽设计 - 可利用成熟的线性系统理论分析

4.2 极点配置法

LESO设计的核心是将观测器极点配置在同一位置 \(-\omega_o\)。

设计思想：将所有观测器极点配置在负实轴的同一点，形成带宽概念。

对于 \(n\) 阶系统，设计 \((n+1)\) 阶LESO，特征多项式为：

\[ \lambda(s) = (s + \omega_o)^{n+1} \]

为什么这样设计？ - 所有极点相同 → 系统响应由单一参数 \(\omega_o\) 决定 - \(\omega_o\) 越大 → 极点越远离原点 → 响应越快 - 避免了多参数耦合调节的复杂性

4.3 二阶系统LESO设计

以二阶系统为例（如弹簧-质量-阻尼系统）：

原系统： $$ \ddot{y} = f + b_0 u $$

扩张状态： - \(x_1 = y\)（位置） - \(x_2 = \dot{y}\)（速度） - \(x_3 = f\)（总扰动，扩张状态）

扩张状态方程： $$ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \ \dot{x}_2 = x_3 + b_0 u \ \dot{x}_3 = \dot{f} \ y = x_1 \end{cases} $$

LESO方程： $$ \begin{cases} \dot{z}_1 = z_2 + l_1(y - z_1) \ \dot{z}_2 = z_3 + b_0 u + l_2(y - z_1) \ \dot{z}_3 = l_3(y - z_1) \end{cases} $$

其中 \(l_1, l_2, l_3\) 是观测器增益。

极点配置：

将观测器特征方程配置为 \((s + \omega_o)^3 = 0\)，展开得：

\[ s^3 + 3\omega_o s^2 + 3\omega_o^2 s + \omega_o^3 = 0 \]

因此观测器增益为：

\[ \boxed{ \begin{aligned} l_1 &= 3\omega_o \\ l_2 &= 3\omega_o^2 \\ l_3 &= \omega_o^3 \end{aligned} } \]

📌 工程提示：记忆二阶LESO增益的系数 3, 3, 1，这是二项式 \((a+b)^3\) 的展开系数。

4.4 n阶系统推广

对于 \(n\) 阶系统，\((n+1)\) 阶LESO的增益遵循二项式系数：

极点配置：\((s + \omega_o)^{n+1} = 0\)

增益公式：

系统阶数 观测器阶数 增益 \(l_k\)
1阶 2阶 \(l_1 = 2\omega_o, \quad l_2 = \omega_o^2\)
2阶 3阶 \(l_1 = 3\omega_o, \quad l_2 = 3\omega_o^2, \quad l_3 = \omega_o^3\)
3阶 4阶 \(l_1 = 4\omega_o, \quad l_2 = 6\omega_o^2, \quad l_3 = 4\omega_o^3, \quad l_4 = \omega_o^4\)
n阶 n+1阶 \(l_k = C_{n+1}^k \cdot \omega_o^k\)

其中 \(C_{n+1}^k\) 是组合数（二项式系数）。

通式：

\[ l_k = \binom{n+1}{k} \omega_o^k, \quad k = 1, 2, ..., n+1 \]

4.5 观测器带宽\(\omega_o\)的选择

\(\omega_o\) 是LESO最关键的参数，决定了：

\(\omega_o\) 大小 估计速度 噪声敏感度 适用场景
较小 慢 低（滤波好） 噪声大的环境
适中 适中 适中 一般工业控制
较大 快 高（噪声敏感） 快速响应需求

设计经验：

\[ \omega_o = (3 \sim 5) \cdot \omega_c \]

其中 \(\omega_c\) 是控制器带宽。

💡 调试原则： 1. 先取 \(\omega_o = 4\omega_c\) 作为初始值 2. 如果估计滞后明显，增大 \(\omega_o\) 3. 如果噪声敏感，减小 \(\omega_o\)

第五章：LADRC控制律

5.1 线性误差反馈控制律(LSEF)

LSEF（Linear State Error Feedback）负责根据误差生成虚拟控制量 \(u_0\)。

基本形式：

对于二阶系统：

\[ u_0 = k_p(r - z_1) - k_d z_2 \]

其中： - \(r\)：给定值 - \(z_1\)：LESO估计的位置 - \(z_2\)：LESO估计的速度 - \(k_p, k_d\)：控制器增益

5.2 控制器带宽\(\omega_c\)

LSEF设计同样采用带宽法，将控制器极点配置在 \(-\omega_c\)。

二阶系统控制器设计：

补偿后的系统近似为：\(\ddot{y} \approx u_0\)

期望的闭环特性：\((s + \omega_c)^2 = s^2 + 2\omega_c s + \omega_c^2 = 0\)

因此：

\[ \boxed{ \begin{aligned} k_p &= \omega_c^2 \\ k_d &= 2\omega_c \end{aligned} } \]

物理意义： - \(k_p = \omega_c^2\)：位置误差增益，决定静态精度 - \(k_d = 2\omega_c\)：速度反馈增益，提供阻尼，抑制超调

5.3 完整控制律与参数关系

完整LADRC控制律：

\[ u = \frac{u_0 - z_3}{b_0} = \frac{k_p(r - z_1) - k_d z_2 - z_3}{b_0} \]

其中 \(z_3\) 是LESO估计的总扰动，用于实时补偿。

参数关系汇总：

参数 符号 计算公式 作用
观测器带宽 \(\omega_o\) 设计参数 决定扰动估计速度
观测器增益 \(l_k\) \(\binom{n+1}{k}\omega_o^k\) LESO校正强度
控制器带宽 \(\omega_c\) 设计参数 决定系统响应速度
控制器增益 \(k_p, k_d\) \(\omega_c^2, 2\omega_c\) 误差反馈强度
补偿系数 \(b_0\) 对象特性 控制效率

参数数量对比：

控制器类型 需要调节的参数 LADRC参数
PID \(K_p, K_i, K_d\)（3个） -
ADRC 多个非线性参数 多个
LADRC \(\omega_o, \omega_c, b_0\)（3个） 简化成功！

📌 工程提示：LADRC将复杂的参数整定简化为调节两个带宽和一个增益系数，大大降低了工程应用门槛。

第六章：离散化实现

6.1 为什么需要离散化

LADRC算法在计算机（DSP、MCU、PLC）上实现时，需要离散化处理：

  1. 计算机是离散系统：只能以固定采样周期 \(h\) 运行
  2. 连续算法无法直接执行：微分方程需要转化为差分方程
  3. 实时性要求：离散算法必须在每个采样周期内完成计算

6.2 零阶保持器原理

离散化方法选择：

方法 优点 缺点
欧拉法 简单 相位滞后大，精度低
一阶保持 精度较高 计算复杂
零阶保持法 形式简单，相位滞后小 计算量稍大

零阶保持法（ZOH）原理：

连续信号 u(t)          离散信号 u(k)
    │                      │
    ▼                      ▼
┌─────────┐           ┌─────────┐
│ 零阶    │           │ 离散    │
│ 保持器  │──────────→│ 系统    │
└─────────┘           └─────────┘

ZOH将离散信号u(k)保持为
连续信号u(t)=u(k), kT≤t<(k+1)T

离散化步骤： 1. 在连续对象前串联零阶保持器 2. 对整体进行Z变换 3. 得到离散状态方程

6.3 一阶系统离散化推导（详细步骤）

连续模型：

一阶系统：\(\dot{x} = f + b_0 u\)

状态空间形式： $$ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 + b_0 u \ \dot{x}_2 = \dot{f} \end{cases} $$

矩阵形式：\(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + Bu\)

其中： $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_0 \ 0 \end{bmatrix} $$

添加零阶保持器后Z变换：

离散状态方程标准形式：

\[ \mathbf{x}(k+1) = \Phi \mathbf{x}(k) + \Gamma u(k) \]

其中： - 状态转移矩阵：\(\Phi = e^{Ah}\) - 输入矩阵：\(\Gamma = \int_0^h e^{A\tau} B d\tau\)

计算 \(\Phi\)：

利用矩阵指数展开：\(e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + ...\)

对于 \(A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)： - \(A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)（幂零矩阵）

因此：

\[ \Phi = e^{Ah} = I + Ah = \begin{bmatrix} 1 & h \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

计算 \(\Gamma\)：

\[ \Gamma = \int_0^h e^{A\tau} B d\tau = \int_0^h \begin{bmatrix} 1 & \tau \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_0 \\ 0 \end{bmatrix} d\tau \]
\[ = \int_0^h \begin{bmatrix} b_0 \\ 0 \end{bmatrix} d\tau = \begin{bmatrix} b_0 h \\ 0 \end{bmatrix} \]

离散LESO方程：

\[ \begin{cases} z_1(k+1) = z_1(k) + h \cdot z_2(k) + b_0 h \cdot u(k) + l_{c1} \cdot (y(k) - z_1(k)) \\ z_2(k+1) = z_2(k) + l_{c2} \cdot (y(k) - z_1(k)) \end{cases} \]

离散增益矩阵：

为使离散极点与连续极点匹配，离散增益 \(L_c\) 满足：

\[ L_c = \Phi^{-1} \cdot (\Phi - e^{-Ah}) \cdot L \]

简化后（对于一阶系统）：

\[ \boxed{ \begin{aligned} l_{c1} &= 2\omega_o h \\ l_{c2} &= \omega_o^2 h \end{aligned} } \]

💡 理解要点：离散增益与连续增益的关系体现了采样周期 \(h\) 的影响。采样越慢（\(h\) 越大），增益越大。

6.4 二阶系统离散化推导（详细步骤）

连续模型：

二阶系统：\(\ddot{y} = f + b_0 u\)

状态空间形式： $$ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \ \dot{x}_2 = x_3 + b_0 u \ \dot{x}_3 = \dot{f} \end{cases} $$

矩阵形式：

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ b_0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

计算 \(\Phi = e^{Ah}\)：

由于 \(A^3 = 0\)（幂零矩阵）：

\[ \Phi = I + Ah + \frac{(Ah)^2}{2} = \begin{bmatrix} 1 & h & \frac{h^2}{2} \\ 0 & 1 & h \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

计算 \(\Gamma\)：

\[ \Gamma = \int_0^h e^{A\tau} B d\tau = \begin{bmatrix} \frac{b_0 h^2}{2} \\ b_0 h \\ 0 \end{bmatrix} \]

离散LESO方程：

\[ \begin{cases} z_1(k+1) = z_1(k) + h \cdot z_2(k) + \frac{h^2}{2} \cdot z_3(k) + \frac{b_0 h^2}{2} \cdot u(k) + l_{c1} \cdot (y(k) - z_1(k)) \\ z_2(k+1) = z_2(k) + h \cdot z_3(k) + b_0 h \cdot u(k) + l_{c2} \cdot (y(k) - z_1(k)) \\ z_3(k+1) = z_3(k) + l_{c3} \cdot (y(k) - z_1(k)) \end{cases} \]

离散增益矩阵：

\[ \boxed{ \begin{aligned} l_{c1} &= 3\omega_o h \\ l_{c2} &= 3\omega_o^2 h \\ l_{c3} &= \omega_o^3 h \end{aligned} } \]

6.5 离散ESO实现要点

代码实现框架：

// 二阶LADRC离散实现（伪代码）
void LADRC_Update(float y, float r, float h) {
    // 1. 计算误差
    float e = y - z1;

    // 2. LESO更新（离散形式）
    float z1_new = z1 + h*z2 + (h*h/2)*z3 + (b0*h*h/2)*u + lc1*e;
    float z2_new = z2 + h*z3 + b0*h*u + lc2*e;
    float z3_new = z3 + lc3*e;

    z1 = z1_new;
    z2 = z2_new;
    z3 = z3_new;

    // 3. LSEF计算虚拟控制量
    float u0 = kp*(r - z1) - kd*z2;

    // 4. 扰动补偿
    u = (u0 - z3) / b0;
}

📌 工程提示： 1. 采样周期 \(h\) 应足够小，通常满足 \(h < \frac{1}{10\omega_o}\) 2. 离散增益可以离线计算，提高实时性 3. 注意数值溢出问题，尤其是 \(\omega_o\) 较大时

第七章：参数整定

7.1 扰动补偿系数\(b_0\)（物理意义+整定步骤）

\(b_0\)的物理意义：

\(b_0\) 表示控制对象的控制效率——单位控制输入能产生多大的输出变化率。

  • \(b_0\) 越大：控制效率越高，相同控制量产生的效果越大
  • \(b_0\) 越小：控制效率越低，需要更大的控制量

从阶跃响应估计\(b_0\)：

方法一：一阶系统

对一阶系统 \(\dot{y} = f + b_0 u\)，施加幅值为 \(U\) 的阶跃输入：

初始加速度（即初始变化率）：

\[ \dot{y}(0) = b_0 U \]

因此：

\[ \boxed{b_0 = \frac{\dot{y}(0)}{U}} \]

方法二：二阶系统

对二阶系统 \(\ddot{y} = f + b_0 u\)，施加幅值为 \(U\) 的阶跃输入：

初始加速度：

\[ \ddot{y}(0) = b_0 U \]

因此：

\[ \boxed{b_0 = \frac{\ddot{y}(0)}{U}} \]

\(b_0\)参数整定步骤：

步骤1: 施加阶跃输入，记录输出响应
            │
            ▼
步骤2: 计算初始加速度（一阶：斜率；二阶：曲率）
            │
            ▼
步骤3: 计算 b0 = 初始加速度 / 阶跃幅值
            │
            ▼
步骤4: 微调b0，直到系统响应稳定
            │
            ▼
    如果系统振荡 → 减小b0
    如果响应迟缓 → 增大b0

📌 工程提示：\(b_0\) 不要求非常精确，±30%的误差通常可以接受，因为LESO会在线估计并补偿模型误差。

7.2 控制器带宽\(\omega_c\)（整定经验）

\(\omega_c\)的作用：

\(\omega_c\) 决定了系统的响应速度和跟踪性能。

  • \(\omega_c\) 越大：响应越快，但可能超调甚至不稳定
  • \(\omega_c\) 越小：响应越慢，但更平稳

整定原则：

\[ \text{在满足性能要求的前提下，选择尽可能小的 } \omega_c \]

原因： 1. 过大会引入更多噪声 2. 过大会增加执行机构负担 3. 过大会降低稳定裕度

整定步骤：

步骤1: 设置较小的初始值 wc = 目标带宽的50%
            │
            ▼
步骤2: 测试系统响应
            │
            ▼
步骤3: 根据响应调整
    ┌─────────────────────────────────────┐
    │ 响应过慢 → 增大wc（每次增加20%）    │
    │ 响应过快/振荡 → 减小wc              │
    │ 噪声过大 → 减小wc                   │
    └─────────────────────────────────────┘
            │
            ▼
步骤4: 重复步骤2-3，直到满意

7.3 观测器带宽\(\omega_o\)（与\(\omega_c\)的比例关系）

\(\omega_o\)与\(\omega_c\)的关系：

\(\omega_o\) 必须大于 \(\omega_c\)，以确保LESO能快速估计扰动，供控制器使用。

推荐比例：

\[ \boxed{\omega_o = (3 \sim 5) \cdot \omega_c} \]

常见取值： - 保守设计：\(\omega_o = 3\omega_c\)（噪声环境） - 标准设计：\(\omega_o = 4\omega_c\)（推荐） - 激进设计：\(\omega_o = 5\omega_c\)（快速响应需求）

选择依据：

应用场景 \(\omega_o/\omega_c\) 原因
噪声较大 3 降低噪声敏感度
一般工业 4 平衡性能与鲁棒性
快速跟踪 5 提高估计速度

7.4 综合调试步骤

LADRC完整调试流程：

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│  步骤1: 确定系统阶数 n                                       │
│  根据被控对象特性（输入到输出需要几次积分）                   │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                            │
                            ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│  步骤2: 估计b0                                               │
│  施加阶跃，测量初始加速度，计算 b0 = 加速度 / 阶跃幅值        │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                            │
                            ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│  步骤3: 设置初始带宽                                         │
│  wc0 = 期望响应速度对应的带宽                                │
│  wo0 = 4 * wc0（初始比例）                                   │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                            │
                            ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│  步骤4: 调试wc                                               │
│  - 先设 wc = 0.5 * wc0，逐步增加                             │
│  - 直到响应速度满足要求                                      │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                            │
                            ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│  步骤5: 调试wo                                               │
│  - 固定wc，调整wo与wc的比例                                  │
│  - 如果估计滞后，增大wo                                      │
│  - 如果噪声敏感，减小wo                                      │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                            │
                            ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│  步骤6: 微调b0                                               │
│  - 如果系统振荡，减小b0                                      │
│  - 如果响应迟缓，增大b0                                      │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                            │
                            ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│  步骤7: 反复迭代优化                                         │
│  在wc、wo、b0之间微调，直到性能最佳                           │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

调试检查清单：

检查项 正常表现 异常处理
指令跟踪 快速、无超调 调整wc
扰动抑制 扰动后快速恢复 调整wo
稳态误差 接近零 检查b0
噪声敏感度 无高频抖动 减小wo或wc
超调量 < 20% 减小wc或增大kd

第八章：总结

8.1 LADRC核心思想回顾

核心概念 要点
总扰动 将内扰+外扰打包为一个整体
LESO 线性扩张状态观测器，用带宽法设计
实时补偿 在控制输入端抵消估计的扰动
积分器串联 补偿后系统简化为理想形式

8.2 关键公式汇总

1. 二阶LESO增益：

\[ l_1 = 3\omega_o, \quad l_2 = 3\omega_o^2, \quad l_3 = \omega_o^3 \]

2. 二阶LSEF增益：

\[ k_p = \omega_c^2, \quad k_d = 2\omega_c \]

3. 完整控制律：

\[ u = \frac{k_p(r - z_1) - k_d z_2 - z_3}{b_0} \]

4. 带宽比例关系：

\[ \omega_o = (3 \sim 5) \omega_c \]

8.3 LADRC设计流程图

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                     LADRC 设计流程                          │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│                                                             │
│  1. 确定系统阶数 n                                          │
│     └─→ 根据被控对象动态特性                                │
│                                                             │
│  2. 设计LESO（n+1阶）                                        │
│     ├─→ 选择观测器带宽 wo                                   │
│     └─→ 计算增益 l_k = C(n+1,k) * wo^k                      │
│                                                             │
│  3. 设计LSEF                                                 │
│     ├─→ 选择控制器带宽 wc                                   │
│     └─→ 计算增益 kp=wc², kd=2*wc                            │
│                                                             │
│  4. 确定b0                                                   │
│     └─→ 从阶跃响应估计                                      │
│                                                             │
│  5. 离散化实现                                               │
│     └─→ 零阶保持法，计算离散增益                            │
│                                                             │
│  6. 参数整定                                                 │
│     └─→ wo=(3~5)wc，反复调试优化                            │
│                                                             │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

8.4 与PID的对比

特性 PID LADRC
参数数量 3个 (\(K_p, K_i, K_d\)) 3个 (\(\omega_o, \omega_c, b_0\))
参数含义 经验性强 物理意义明确（带宽）
抗扰能力 一般（积分滞后） 强（实时估计补偿）
模型依赖 不需要 不需要（仅需相对阶数）
实现复杂度 低 中等
调参难度 经验依赖 系统化（带宽法）

8.5 学习建议与扩展阅读

学习路径：

  1. 理论理解：先掌握扰动响应理论和干扰观测器概念
  2. 数学推导：深入理解LESO和LSEF的设计原理
  3. 仿真验证：使用MATLAB/Simulink进行仿真
  4. 实验调试：在实际系统上练习参数整定

推荐资源：

类型 资源
论文 Gao Z., "Scaling and Bandwidth-Parameterization Based Controller Tuning", 2003
书籍 韩京清，《自抗扰控制技术》
工具 MATLAB ADRC Toolbox
社区 控制理论相关论坛和GitHub项目

常见问题：

问题 可能原因 解决方案
系统振荡 wc过大或b0过大 减小wc或b0
估计滞后 wo过小 增大wo
噪声敏感 wo过大 减小wo
稳态误差 b0估计不准 微调b0

💡 最后的思考：LADRC的魅力在于它将复杂的控制问题简化为带宽调节问题。掌握这一思想，你就能在工程中灵活应用ADRC，应对各种不确定性挑战。

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