控制理论基础

本文档为 LADRC 学习的前置知识铺垫，涵盖 PID 控制、控制视角下的最小建模、状态空间和带宽概念。

1. PID 控制原理

比例-积分-微分控制（PID）是工业控制中最广泛使用的控制算法，由比例（P）、积分（I）、微分（D）三个环节组成。

详见 03-PID控制算法原理与应用.md

1.1 PID 的局限性

参数整定依赖经验
对非线性系统效果不佳
难以处理模型不确定性

2. 控制视角下的最小建模

这一节只解决一件事：

先把“建模”降到地上。

工程上常说“这是建模问题”，但这句话如果不展开，很容易让人误以为一定要先搞一整套特别完整、特别精确的动力学推导。

更常见、也更实用的做法其实是：

不是追求“真实世界完整模型”，而是追求“控制上够用的模型”。

也就是说，你先把最影响控制效果的部分建出来，用来回答：

为什么它加速慢、刹车也慢？
为什么低速附近特别别扭？
为什么换个姿态表现就不一样？
为什么前馈有时候好用，有时候反而发疯？

2.1 单轴控制最小模型

对电机位置-速度控制，最常见的起点就是这三条关系。

1. 位置和速度关系

\[ \dot{\theta} = \omega \]

这表示位置是速度的积分，所以位置环本质上是在管“速度该怎么变化”。

2. 速度和力矩关系

\[ J\dot{\omega} = \tau - B\omega - \tau_f - \tau_{load} \]

这里：

$J$：转动惯量
$\tau$：电机输出力矩
$B\omega$：粘性阻尼
$\tau_f$：摩擦项
$\tau_{load}$：外部负载扰动

这条式子直接解释了很多控制现象：

惯量大，同样力矩下加速度更小
惯量大，起步慢，刹车也慢
摩擦会让低速、小误差附近特别难受
外部负载会让同一套参数在不同工况下表现不同

3. 电机力矩和电流关系

如果电流环已经闭好，常见近似是：

\[ \tau = K_t i \]

也就是电流基本直接决定力矩。

如果你直接给的是电压而不是电流，还要再考虑电气模型：

\[ L\dot{i} + Ri + K_e\omega = u \]

但在很多位置环、速度环的分析里，会先把更快的内层等效掉，只保留最主要的机械侧关系。

2.2 为什么控制里常先用简化模型

先不追求“完整物理世界模型”，而是从一个最小控制对象模型开始，有两个好处：

先把主要现象解释通
先让控制结构和调参方向有抓手

例如对速度环，如果内层够快，常常可以先近似成：

\[ G_{\omega}(s) = \frac{K}{Ts + 1} \]

也就是一个一阶惯性环节。

它已经足够解释很多现象：

为什么太激进会抖
为什么大惯量会变慢
为什么前馈能明显减小滞后

如果速度环已经闭好，那么位置环往里看的对象，常常可以近似成：

\[ G_{\theta}(s) = \frac{K_{\omega}}{Ts + 1} \cdot \frac{1}{s} \]

也就是“一个一阶速度环，再接一个积分”。

这已经是很多串级控制分析的标准起点。

2.3 非理想因素通常从哪里开始加

当简单模型解释不了现象时，再逐步加复杂度。工程上最值得优先考虑的通常是：

摩擦：解释低速爬行、小误差不动、反向切换别扭
重力：解释机械臂不同角度表现不一样
惯量变化：解释不同姿态、不同负载下手感变化
间隙、弹性、共振：解释快速刹车后还会弹一下、某频率特别容易振
饱和和死区：解释小命令不动、大命令一上来就顶满

2.4 灰箱建模为什么最实用

对电机、关节、机械臂这类对象，最常用的不是纯理论大推导，也不是纯黑箱乱拟合，而是：

灰箱建模：先写出基本物理结构，再通过实验把参数估出来。

这也是为什么建模常常会和实验辨识绑在一起。

2.5 建模和控制器是什么关系

建模不是 PID、LADRC、LQR 的对立面，而是它们的共同基础，只是依赖程度不同：

PID：对模型要求最低，哪怕只有很粗的对象认识，也能靠反馈把系统调到可用
LADRC：不要求精确模型，但通常需要系统相对阶和粗略名义增益，再用观测器去估“没建准的部分”
LQR / 状态反馈：更依赖显式模型，但常用的也往往是简化模型、线性化模型或工作点附近模型

一句话记住：

建模不是为了“证明自己会公式”，而是为了先建立一个能解释主要现象的最小模型，再决定哪些靠前馈，哪些靠反馈，哪些靠观测器。

3. 状态空间基础

3.1 基本概念

状态变量: 完全描述系统所需的最少变量集合

状态方程: $$\dot{x} = Ax + Bu$$

输出方程: $$y = Cx + Du$$

3.2 状态空间 vs 传递函数

特性	传递函数	状态空间
适用对象	线性定常	线性/非线性
维数	单输入单输出	多输入多输出
初始条件	零初始	可考虑非零
物理意义	不够直观	清晰明确

4. 带宽概念

带宽指系统能够有效响应的信号频率范围。

举例理解：带宽就像道路的限速——带宽越高，系统响应越快（就像高速上能开120km/h），但更容易受噪声干扰；带宽越低，响应越慢但越稳定（就像市区限速60km/h更平稳）。

在控制系统中，带宽决定了系统跟踪快速变化指令的能力上限。